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余りの始末 [味村ノート]

キャンディ110.jpg
キャンディが10個ある
 これを兄弟3人で分けたらどうなるか.1人3個ずつで1個余る.算数の問題なら正解だ.しかし,実生活では余った1個をどう始末するかが問題だ.兄が権力にモノをいわせれば4,3,3だ.弟思いなら3,3,4だ.ともかく何とか始末して一件落着と相成る.

大岡政談に「3方1両損」という話がある
 昔から,余りの始末には並々ならぬ苦労があったようだ.江戸ッ子が3両落し,運よくそれを拾ったのがいて届けてくれたが,落した方はどうしても受取らぬ.「落したのだからもう俺のものじゃない,拾った方のものだ」という.拾った方も「落し主がわかったからにはテコでも受取れぬ」と突張ねる.そこで,お定まり大岡越前守に恐れながらと裁決を願う.越前守やおら考えていう.「奉行が1両出して4両とし,これを両人に2両ずつ取らせる.落した方は3両のところ2両しか戻らぬから1両損.拾った方もネコパパすれば3両のところ2両しかもらえぬから1両損.奉行も訴えがなければ何もないところ1両出したから1両損.これで3方1両損」宙に迷った3両,つまり世の中に余った3両がめでたく始末できたわけだ.

1年は正しくは365.2422日だ
 だから,365日とすると毎年0.2422日余る.4年経過すると0.2422×4=0.9688日余るから,ここで1日多くして366日とする.閏年だ.しかし,ピッタリ1日余ったのではない.1-0.9688=0.0312日足りない.400年で3.12日足りなくなる.そこで,400年に3回だけ閏年をやめる.つまり,西歴が100の倍数で頭の2ケタが4の倍数でないときは平年とする.これでも400年に0.12日余るから4000年で1日少々余る勘定だが,まず当分は大丈夫だ.古来,暦の歴史は余りの始末記といってよい.

縦横の長さが3m,4mの長方形がある 
 対角線は5mだ.ところが,1辺が1mの正方形では,対角線が1.41・‥…mで,前の長方形のようにピタリとならない.m以下に余りが生じる.そこで√2mとして,余りが目に見えないように始末する.

余り(端数)の始末には
 日常生活では,切り上げ,切り捨て,4拾5入がある.円以下の利息を切上げで始末したら,0.1円は1円となって0.9円の損,0.2円は0.8円の損というようになる.事象が等確率だとすると,
    -0.9×1/10-0.8×1/10-‥…-0.1×1/10=-4.5(円)
の期待損失となる.これを切捨てで始末すると,上の逆で,4.5円の期待利益となる.4捨5入で始末すると,0.4円までは端数分が得になるが,0.5円からは0.5円,0.4円…‥と損になる.だから,
    0.1×1/10+0.2×1/10+・・・…+0.4×1/10
      -0.5×1/10-0.4×1/10…‥-0.1×1/10=-0.05(円)
で期待損失となる.6拾7入というのがあるが,これで始末すると0.15円の期待利益となる.

 余りの始末はやっかいだ.けれども何とか始末しないと実生活で困る.余りをどう始末してきたか,それが人間の計算の歴史といえるかも知れない。
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