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半分の半分で3等分 [味村ノート]

コンパス定規120.jpg角を二等分する
 いきなり幾何の話を持出して不粋かも知れぬが,定規とコソパスとを有限回使って角を2等分することは簡単にできる.ただし,定規は点を結ぶ線分を引くか,これを左右に延長するかに限って使うことにする.また,コンパスは1点を中心に,ある半径の円を描くだけに使うことにする.

 方法は先刻ご存知だろうが,念のために書くとつぎのとおりだ.まず,角の頂点ⓐを中心に適当な半径で円を描く①.つぎに,この円と両辺との交点ⓑを中心にそれぞれ再び円を描く②.あとの2円の交点ⓒと頂点とを結べば③,角は見事に真二つになる.
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では三等分
 2等分が成功するとつぎは3等分をやってみたくなるのが人情だ.まず,直角をやってみる.頂点ⓐを中心に円を描き①,両辺との交点ⓑを中心に同じ半径で再び円を描く②.ここまでは2等分のときと同様だが,こんどはあとの2円どうしの交点でなく,はじめの円との交点ⓒ(2個できる)と頂点とをそれぞれ結ぶ③.めでたく直角は3等分できる.
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解けないことが解けた
 それなら,60度ではどうだろう.こんどはうまく行かぬ.柳の下にいつもどじょうとは限らない.「任意に与えられた角を3等分すること(ⅰ)」は「与えられた立方体の2倍の体積をもつ立方体を作図すること(ⅱ)」と「与えられた円と同じ面積の正方形を作図すること(ⅲ)」とともに,ソフィストの三大難問といわれ,ギリシャの昔から2000年間も解けなかった.

 ところが,19世紀になり,はじじめの2問(ⅰ・ⅱ)はフランスの天才数学者ガロアの理論で解決された.また,最後の1問(ⅲ)も,1882年,リンデマソが解決した.ただし,どちらも「解けた」のではなく「解けない」ことが証明された.だから「角の3等分を作図せよ」といわれたら,頭のよい連中は手をつけようとしないはずだ.

そこを何とかする「コンピュータ・マン的方法」
 けれども,そこを何とかとなったら,どうするか.戸川隼人氏はいう(数値計算入門,第2版,オーム社).「頂点を中心に円を措く.角の約1/3と思われるところの円周上に印をつける.コンパスでその円弧の長さ(正確にいえば弦の長さ)を計り,その幅でもう2区間とってみる.要するに約1/3と思われる角度を3倍したわけである.それが運よくもとの角度に一致すればそれでおしまい.もし一致しなければ,余った角度についてまた同じことをやる.すなわち,その約1/3と思われる角度をとり,(前の幅に加えて*)コンパスを使ってそれを3倍し,それでも合わない部分をまた約3等分し・・‥‥,これをくり返せば余りの部分ほだんだん小さくなって,実用上は0とみなしてよいくらいになるであろう.」

 「ここで用いた手法,すなわち,だいたいの見当をつける,それを実際に試してみる,合わなかったら修正する,これを合うまでくり返すという方法は“逐次近似法”といって数値計算の基本的な考え方の一つである」と戸川氏は解説する.
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そして,戸川氏は角の3等分の「コソビュータ・マソ的な方法」を図示する.1/3は,二進法で0.01010101‥…・と表わせる.これは1/3=1/4+1/16+1/64+1/256+……だ.つまり,1/3は,初項が1/4で公比も1/4の無限等比級数の和になるわけだ.だから,まず角を2等分①し,その下半分をさらに2等分②する.できた四半分の上半分を再び2等分③し,その下半分をさらに2等分④する.これを何回もくり返せば,実用上角は3等分できるというわけだ.議論明快だし,半分の半分をくり返して3等分できるところが愉快だ.
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[目]

今回の[味村ノート]は、9月に向け酷暑疲れの頭をリフレッシュ。「角の2等分の作図」は中学時代? 「角の2等分の性質」は高校数学でしたか。いずれにしても何時習ったかは、すっかり忘れています。中・高校生時代を思いおこしながら秋に向けて体調・心調(?)・脳調(??)を整えましょう。


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